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和算家求椭圆周长的方法(二)(Wasan’s method

   时间: 2020-06-25   来源: M生活区 阅读: 657

连结:和算家求椭圆周长的方法(一)

如前文〈和算家求椭圆周长的方法(一)〉所述,和田宁是最早造出正确椭圆周长展开式的数学家,然而,他的主要着作皆在西元1836年的一场大火中付之一炬,因此,我们只得以他授予的弟子们的传书,一窥他求解椭圆周长的方法。

和田宁的弟子小出兼政,依据和田宁所授之传书编成《圆理算经》,该书〈上卷〉的第五部份里,提出了求椭圆周长问题:「譬今有如图椭圆,只言长径若干,短径若干,问得周长术如何?」作者造椭圆周长公式的过程中,主要是利用分割求和的积分方式,辅以各类「圆理表」。以下,笔者进一步说明并分析他求椭圆周长的过程。

假设椭圆之长轴长为 \(2a\)、短轴长为 \(2b\),首先,小出兼政先利用「截弦顺法对椭圆之长轴作分割,配对得到 \(n\) 段,读者请参考图一,以分割成配对 \(5\) 等分的情况为例作说明。此分割法是以左右配对 \(5\) 等分割的方式,对椭圆之长轴作分割,使其满足:

 \(\overline{{A_1}{B_1}}=\overline {{A_1}{A_2}}+\overline {{B_1}{B_2}}=\overline{{A_2}{A_3}}+\overline{{B_2}{B_3}}= \overline{{A_3}{A_4}}+\overline{{B_3}{B_4}}=\overline{{A_4}A}+\overline{{B_4}B}=\frac{{2a}}{5}\)

这和现代教科书中所用的等分割方式有所不同。

和算家求椭圆周长的方法(二)(Wasan’s method

图一\(~~\)截弦顺法截椭圆之长轴

和算家求椭圆周长的方法(二)(Wasan’s method

图二\(~~\)《圆理算经》求椭圆周术之参照图

接着,他再「依图检矩线表」,根据这个表,利用已知的「长轴长 \(2a\)」、「短轴长 \(2b\)」再搭配勾股定理,最终可表示第 \(k\) 段左右配对弧长的近似值,亦即图二之中左右配对弧长 和算家求椭圆周长的方法(二)(Wasan’s method  的近似值为 \(\overline{{P_k}{P_{k + 1}}}+\overline{{Q_k}{Q_{k + 1}}}={L_k}\),他称此近似值为某背较,并整理得此值为:

\(\displaystyle\frac{{\frac{{2a}}{n}\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}(1 – \frac{{{{(2b)}^2}}}{{{{(2a)}^2}}})} }}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}\)

而后,小出兼政为了简化代数式,令式子中的 \(1 – \frac{{{{(2b)}^2}}}{{{{(2a)}^2}}} = e\),则可将某背较 \(L_k\) 表示成:

\(\displaystyle\frac{{\frac{{2a}}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}e}\)

接着,他又查「应率八象表之阳商乘表」,此表所列即为 \({\left( {1 – x} \right)^{\frac{{2k – 1}}{2}}}\) 二项展开式之中的各项係数。这里令 \(x=(\frac{k}{n})^2e\),便可依该表,将 \(\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}e}\) 作展开,得某背较 \(L_k\) 如下:

\(\displaystyle{L_k} = \frac{{\frac{a}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}(1 – \frac{1}{2}e{(\frac{k}{n})^2} – \frac{1}{8}{e^2}{(\frac{k}{n})^4} – \frac{3}{{48}}{e^3}{(\frac{k}{n})^6} – \frac{{15}}{{384}}{e^4}{(\frac{k}{n})^8} – …)\)

然而,这只是上半椭圆某段弧长(第 \(k\) 段)的近似值,求所有的某背较之和 \(\sum\limits_{k = 1}^n {{L_k}}\),便是上半椭圆周的近似值。当 \(n\) 趋近于无穷大,意即分割区间的宽度趋近于 \(0\) 时,两倍某背较和的极限值便是椭圆周长,即 \(L = 2\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{L_k}}\)。

因此,小出兼政需再将各段近似值「某背较 \(L_k\)」相加再「取级限」求得真正的弧长。

而他所查的「见飞表之龙商除阳表」,便浓缩了上述求「某背较」和与取极限的两个动作,

如此可求得上半椭圆周长 \(\frac{L}{2} = \mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{L_k}}\),而整个椭圆周长便是 \(2\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{L_k}}\)。

若以现代符号表示,整个检表过程相当如下代数关係:

\(\begin{array}{ll}L &= 2\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {{L_k}}\\&=\displaystyle 2\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n [ \frac{{\frac{{2a}}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}(1 – \frac{1}{2}e{(\frac{k}{n})^2} – \frac{1}{8}{e^2}{(\frac{k}{n})^4} – \frac{3}{{48}}{e^3}{(\frac{k}{n})^6} – \frac{{15}}{{384}}{e^4}{(\frac{k}{n})^8}-\cdots)]\\&=\displaystyle4a(\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow\infty }\sum\limits_{k=1}^n{\frac{{\frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}}-\frac{1}{2}e\mathop{\lim }\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{k=1}^n{\frac{{{{(\frac{k}{n})}^2}\cdot\frac{1}{n}}}{{\sqrt{1-{{(\frac{k}{n})}^2}}}}}-\frac{1}{8}{e^2}\sum\limits_{k=1}^n{\frac{{{{(\frac{k}{n})}^4} \cdot\frac{1}{n}}}{{\sqrt{1-{{(\frac{k}{n})}^2}}}}}-\cdots\frac{3}{{48}}{e^3}\mathop{\lim}\limits_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{k=1}^n{\frac{{{{(\frac{k}{n})}^6}\cdot\frac{1}{n}}}{{\sqrt{1-{{(\frac{k}{n})}^2}}}}}-\frac{{15}}{{384}}{e^4}\sum\limits_{k=1}^n{\frac{{{{(\frac{k}{n})}^8}\cdot\frac{1}{n}}}{{\sqrt {1-{{(\frac{k}{n})}^2}}}}}-\cdots~~~~~~~~~(*)\end{array}\)

针对上述各项 \(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{(\frac{k}{n})}^{2i}} \cdot \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}}\),查「见飞表之龙商除阳表」之后,

可分别求得:\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{\frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}}=\frac{\pi }{2}\)、\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{(\frac{k}{n})}^2} \cdot \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi }{2}\)、\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{(\frac{k}{n})}^4} \cdot \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}}=\frac{3}{8} \cdot \frac{\pi }{2}\)、\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{(\frac{k}{n})}^6} \cdot \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}}=\frac{{15}}{{48}} \cdot \frac{\pi }{2}\)、\(\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n\rightarrow\infty } \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{{{(\frac{k}{n})}^8} \cdot \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 – {{(\frac{k}{n})}^2}} }}}=\frac{{105}}{{384}} \cdot \frac{\pi }{2}\)。

最后,代入(*)式,可得如下之椭圆周长展开式:

\(\displaystyle L = 2a\pi (1 – \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}e – \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{8}{e^2} – \frac{{15}}{{48}} \cdot \frac{3}{{48}}{e^3} – \frac{{105}}{{384}} \cdot \frac{{15}}{{384}}{e^4} – …)\)

其中的 \(e = 1 – \frac{{{{(2b)}^2}}}{{{{(2a)}^2}}}\)。最后,小出兼政也进一步找到前后项係数之间的关係,并将原级数表示成如下形式:

\(L = \pi (2a – \sum\limits_{k = 1}^\infty{{D_k}} )\)

其中 \(D_0=2a\)、\(D_1=D_0T\)、\({D_{k + 1}} = \frac{{(2k – 1) \cdot (2k + 1)}}{{{{(k + 1)}^2}}}{D_k}T\)、\(T = \frac{1}{4}e = \frac{1}{4}[1 – \frac{{{{(2b)}^2}}}{{{{(2a)}^2}}}]\)、\(k \ge 1\)。

此时,椭圆周术可进一步表示成:

\(L = \pi (2a – \frac{1}{{{1^2}}}T \cdot {D_0} – \frac{{1 \cdot 3}}{{{2^2}}}T \cdot {D_1} – \frac{{3 \cdot 5 \cdot }}{{{3^2}}}T \cdot {D_2} – \frac{{5 \cdot 7}}{{{4^2}}}T \cdot {D_3} – …)\)

以上,便是和算家造椭圆周长公式的方法。在没有函数与解析几何等工具之下,他们主要是利用分割求积分法,辅以和算家所造的各类圆理表,包含二项展开式表与无穷级数和表(亦可看成积分数值表)等,再搭配相关图形之间的几何关係,最终求得了正确的椭圆周长公式。除了上述椭圆周长问题外,和算家也利用类似的积分法,解决了许多即便是微积分也难以处理的求弧长、求面积与体积问题,即便是两相交立体所截成立体之体积、表面积、截面积、截周长等涉及複杂积分或双重积分的问题,和算家亦是依此法求解。而和田宁所发展出的这套「积分法」,正是十九世纪和算家最重要的解题利器,也标誌了和算发展的最后一个高峰。

参考文献:

小出兼政,《圆理算经》,1842年。
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