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和算家求椭圆周长的方法(一)(Wasan’s method

   时间: 2020-06-25   来源: S佳生活 阅读: 181

相较于圆周长与而言,椭圆周长是早期数学家们感到棘手的问题。一般而言,我们可以利用定积分法,求得椭圆的面积。

首先,不失一般性,我们可把椭圆的长轴固定在 \(x\) 轴的方向上,
则其标準方程式为:\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) (长轴半长为 \(a\),短轴半长为 \(b\))。
当我们考虑函数 \(y=\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\) 时,可以利用定积分求得椭圆面积为第一象限部份面积的 \(4\) 倍(如图一所示),即 \(ab\pi\)。特别地,当椭圆的长轴与短轴等长(亦即当 \(2a=2b\))时,可得圆面积公式 \(\pi a^2\)。

和算家求椭圆周长的方法(一)(Wasan’s method

图一\(~~\)椭圆面积为第一象限部份面积(黄色部份)之四倍

至于椭圆周长,若利用弧长的积分公式 \(\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\) 来求其周长,可求得椭圆在第一象限之弧长为 \(\int_0^a\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}\frac{x^2}{a^2-x^2}}dx\)。然而,此式并无法利用一般的积分方法求得其值。因此,就椭圆而言,并无法利用基础的积分方法,求得如同圆周长那般的简单公式 \(2\pi r\)。

江户时期的日本,有着许多热衷于各类几何问题研究的数学家,这些数学家(一般称他们为和算家)当然不会放过椭圆周长问题。例如最着名的和算家关孝和(Seki Takakazu, 1642?-1708),他在西元1685年所着的《三部抄》〈解见题之法〉里,便已提出椭圆周长的公式:

 \(\sqrt{(2a)(2b)\pi^2+(2a-2b)^2}\)

然而,此公式仅是近似公式,同时,对于此公式的意义与来由,目前数学史界并没有较好的解释与理解。有趣的是,虽然该公式只是近似公式,但是,当椭圆之长轴长与短轴长相等时,仍能推导出圆周长公式。

相较起十七世纪末的关孝和以及十八世纪初期、中期的建部贤弘(TakebeKatahiro, 1664-1739)与松永良弼(Matsunaga Yoshisuke, 1692?-1744)等人对求圆周长与圆周率近似值的建树,和算家们对于椭圆周长问题的研究上,却始终停滞未有重大突破。对比于和算家们所热衷的圆周率以及弧长相关研究,椭圆周长问题出现在和算着述中的机会亦明显较少。一直得等到十九世纪初期,许多以椭圆或侧圆为名的着作方大量出现。

例如关流千叶胤秀(Chiba Tanehide, 1775-1849),便于重要的和算教科书《算法新书》(1830)一书中便纳入了求椭圆周问题与相关公式:

\(\displaystyle L = \pi (2a – \frac{{{D_0} \cdot 1}}{{{2^2}}}T – \frac{{{D_1} \cdot 1 \cdot 3}}{{{4^2}}} – \frac{{{D_2} \cdot 3\cdot 5}}{{{6^2}}} – \frac{{{D_3} \cdot 5 \cdot 7}}{{{8^2}}} -\ldots )\)

其中,\(D_0=2a\)、\(D_1=D_0T\)、\({D_k} = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{{(2k)}^2}}}{D_{k – 1}}T\),\(T = 1 – \frac{{{{(2b)}^2}}}{{{{(2a)}^2}}}\)。该书主要作为千叶胤秀所开设算学道场中的数学教科书,书中内容包含最简单的日用算术与珠算,也包含诸如天元术、点窜术、诸约、垛积等关流重要基础数学知识。同时,书中也纳入了诸多与圆、弧、矢、弦、面积、体积、穿去积等几何知识。不过此书的主要内容仍是以当时和算的基础知识为主,而非各类艰难问题,由这点来看,求椭圆周长公式的方法,在当时应已是关流和算家以及基层习算者普遍能接受的知识。

至于最早求出正确椭圆周长公式的和算家,应属关流的和田宁(Wata Yasushi,1787-1840)。可惜的是,他的主要着作因1836年的一场火灾而亡佚。所幸他的弟子小出兼政 (Koide Kanemasa 1797-1865) 整理了许多和田宁授予他的书籍,于1842年写成《圆理算经》一书。他在《圆理算经》的自序中提到:

    关流七世和田算学先生,名宁,自幼特好数学,入日下诚先生之门,授关流六传。壮而发志明圆理增约之道、期之终年潜志于此。抑以关流开祖关新助孝和着述《七部集》内求积中心周之术、三世松永安右卫门良弼创制之圆理术、五世安岛万藏直圆之增约截断术等为阶梯,考订迄是所滞流之圆理难问,始新开术路,着述椭圆周此天地开闢以来,正括椭圆周之始也。

从上述自序可知,和田宁是在阅读过关孝和、松永良弼以及安岛直圆等诸多关流重要和算家的着作后,以前人们的研究成果作为基础,进而新开术路,处理各类圆理难题。依此序言所述:「着述椭圆周此天地开闢以来,正括椭圆周之始也」,应可断定至少在关流中,和田宁是最早独立解决椭圆周长问题的和算家。而小出兼政《圆理算经》书中收录的求椭圆周问题与所给术文相当于下列展开式:

\(\displaystyle L = \pi (2a – \frac{{{D_0} \cdot 1}}{{{1^2}}}T – \frac{{1 \cdot 3}}{{{3^2}}}T \cdot {D_1} – \frac{{3 \cdot 5}}{{{5^2}}}T \cdot {D_2} – \frac{{5 \cdot 7}}{{{7^2}}}T\cdot {D_3} -\ldots )\)

其中,\(D_0=2a\)、\(D_1=D_0T\)、\({D_k} = \frac{{(k – 1)(k + 1)}}{{{{(k + 1)}^2}}}{D_{k – 1}}T\),\(T = 1 – \frac{{{{(2b)}^2}}}{{{{(2a)}^2}}}\)。

从现代观点视之,此椭圆周长公式是正确的。同时,这个椭圆周长公式亦与中算家项名达在《象数一原》之中所列之椭圆周长展开式一致,可谓数学知识多元发现的又一例子。不过,这个公式与本文前述千叶胤秀所提供的公式并不相同,但两者皆为椭圆周长的正确展开式。此外,值得一提的是,无论是和算家和田宁或者中算家项名达的研究成果,皆意味着他们是在没有微积分与函数等「现代」数学相关知识背景下,以当代数学家所发展出的相关算学知识作为基础,独创而成功地解决了椭圆求周之问题。接下来,笔者利用〈和算家求椭圆周长的方法(二)〉一文,说明和算家和田宁如何求得到椭圆周长无穷展开式的方法。

连结:和算家求椭圆周长的方法(二)

参考文献:

千叶胤秀,《算法新书》,1830年。小出兼政,《圆理算经》,1842年。徐泽林,《和算选粹》。北京:科学出版社,2008年。
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